Ako riešiť logaritmické rovnice

Obsah

• stupňa
• Predbežné: vedieť, ako transformovať logaritmickú rovnicu na rovnicu so silami
• Metóda 1 Nájsť x
• Metóda 2 Nájsť x pomocou pravidla produktu logaritmu
• Metóda 3 Nájsť x pomocou t logaritmického kvocientu

Logaritmické rovnice nie sú na prvý pohľad najjednoduchšie vyriešiteľné v matematike, ale môžu byť transformované do rovníc s exponentmi (exponenciálna notácia). Preto, ak sa vám podarí urobiť túto transformáciu a ak zvládnete výpočet s právomocami, mali by ste ľahko vyriešiť tento druh rovníc. Pozn .: Termín „log“ sa bude občas používať namiesto „logaritmu“, je zameniteľný.

stupňa

Predbežné: vedieť, ako transformovať logaritmickú rovnicu na rovnicu so silami

1. 
   

   
   Začnime definíciou logaritmu. Ak hľadáte výpočet logaritmov, vedzte, že nie sú ničím iným než osobitným spôsobom vyjadrovania právomocí. Začnime jednou z klasických podmienok logaritmu:
   • y = log_b (X)
     • iba vtedy, ak: b = x
   • b je základom logaritmu. Musia byť splnené dve podmienky:
     • b> 0 (b musí byť prísne pozitívny)
     • b nesmie sa rovnať 1
   • V exponenciálnom zápise (druhá rovnica vyššie), tam je sila a x je takzvaný exponenciálny výraz, v skutočnosti ktorého hodnota sa hľadá v protokole.

2. 
   

   
   
   
   Pozorne sledujte rovnicu. Tvárou v tvár logaritmickej rovnici musíme identifikovať bázu (b), moc (y) a exponenciálny výraz (x).
   • príklad : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Exponenciálny výraz umiestnite na jednu stranu rovnice. Vložte napríklad svoju hodnotu x naľavo od znaku "=".
   • príklad : 1024 = ?

4. 
   

   
   Zdvihnite základňu na vyznačenú silu. Hodnota priradená databáze (b) sa musí vynásobiť toľkokrát, koľkokrát to indikuje sila (tam).
   • príklad : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • Stručne povedané, toto dáva: 4

5. 
   

   
   
   
   Napíšte svoju odpoveď. Teraz môžete prepísať logaritmus exponenciálnym zápisom. Uistite sa, že je vaša rovnosť správna opakovaným výpočtom.
   • príklad : 4 = 1024

Metóda 1 Nájsť x

1. 
   

   
   Izolovajte logaritmus. Cieľom je skutočne disoltovať v prvom protokole. Za týmto účelom míňame všetky logaritmické členy na druhej strane rovnice. Nezabudnite obrátiť ovládacie znaky!
   • príklad : log₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Napíšte rovnicu v exponenciálnej podobe. Aby ste mohli nájsť písmeno „x“, budete musieť prejsť od logaritmického zápisu k exponenciálnemu zápisu, ktorý sa ľahšie vyrieši.
   • príklad : log₃(x + 5) = 4
     • Počnúc teoretickou rovnicou y = log_b (X)], použite ho v našom príklade: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Napíšte rovnicu ako: b = x
     • Získame tu: 3 = x + 5

3. 
   

   
   nájsť x. Teraz čelíte rovnici prvého stupňa, ktorá sa dá ľahko vyriešiť. Môže to byť druhý alebo tretí stupeň.
   • príklad : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Zadajte svoju konečnú odpoveď. Hodnota, ktorú ste našli pre „x“, je odpoveďou na vašu logaritmickú rovnicu: log₃(x + 5) = 4.
   • príklad : x = 76

Metóda 2 Nájsť x pomocou pravidla produktu logaritmu

1. 
   

   
   Musíte poznať pravidlo týkajúce sa produktu (násobenia) protokolov. Podľa prvej vlastnosti guľatiny, ktorá sa týka produktu guľatiny (rovnakej základne odoslanej!), Guľatina produktu sa rovná súčtu guľatiny prvkov produktu. ilustrácie:
   • log_b(m x n) = log_b(m) + log_b(N)
   • Musia byť splnené dve podmienky:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Izolovajte guľatinu na jednej strane rovnice. Cieľom je skutočne najprv roztopiť guľatinu. Za týmto účelom míňame všetky logaritmické členy na druhej strane rovnice. Nezabudnite obrátiť ovládacie znaky!
   • príklad : log₄(x + 6) = 2 - log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2

3. 
   

   
   Uplatnite pravidlo týkajúce sa produktu guľatiny. Tu ju použijeme v opačnom smere, a to tak, že súčet protokolov sa rovná logu produktu. Čo nám dáva:
   • príklad : log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Prepíšte rovnicu s právomocami. Pripomeňme, že logaritmická rovnica sa môže transformovať na rovnicu s exponentmi. Ako predtým, prejdeme na exponenciálny zápis, ktorý pomôže vyriešiť problém.
   • príklad : log₄(x + 6x) = 2
     • Počnúc teoretickou rovnicou ju aplikujme na náš príklad: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Napíšte rovnicu ako: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   nájsť x. Teraz čelíte rovnici druhého stupňa, ktorá sa dá ľahko vyriešiť.
   • príklad : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Napíšte svoju odpoveď. Často máme dve odpovede (korene). Vo východzej rovnici by sa malo skontrolovať, či sú tieto dve hodnoty vhodné. V skutočnosti nemôžeme vypočítať denník záporného čísla! Zadajte jedinú platnú odpoveď.
   • príklad : x = 2
   • Nikdy si to nebudeme pamätať dosť: denník záporného čísla neexistuje, takže tu môžete prepustiť - 8 ako riešenie. Keby sme vzali -8 ako odpoveď, mali by sme v základnej rovnici: log₄(-8 + 6) = 2 - log₄(-8), tj denník₄(-2) = 2 - log₄(-8). Nedokáže vypočítať denník zápornej hodnoty!

Metóda 3 Nájsť x pomocou t logaritmického kvocientu

1. 
   

   
   Musíte poznať pravidlo, ktoré sa týka rozdelenia denníkov. Podľa druhej vlastnosti guľatiny, ktorá sa týka rozdelenia guľatiny (tej istej základne odoslanej!), Sa denník kvocientu rovná rozdielu denníka čitateľa a denníka menovateľa. ilustrácie:
   • log_b(m / n) = log_b(m) - log_b(N)
   • Musia byť splnené dve podmienky:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Izolovajte guľatinu na jednej strane rovnice. Cieľom je skutočne najprv roztopiť guľatinu. Za týmto účelom míňame všetky logaritmické členy na druhej strane rovnice. Nezabudnite obrátiť ovládacie znaky!
   • príklad : log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - denník₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - denník₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Použite pravidlo kvocientu denníka. Tu ju použijeme v opačnom smere, a to, že rozdiel protokolov sa rovná logu kvocientu. Čo nám dáva:
   • príklad : log₃(x + 6) - denník₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Prepíšte rovnicu s právomocami. Pripomeňme, že logaritmická rovnica sa môže transformovať na rovnicu s exponentmi. Ako predtým, prejdeme na exponenciálny zápis, ktorý pomôže vyriešiť problém.
   • príklad : log₃ = 2
     • Počnúc teoretickou rovnicou ju aplikujme na náš príklad: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Napíšte rovnicu ako: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   nájsť x. Teraz, keď už neexistujú žiadne protokoly, ale právomoci, mali by ste ich nájsť ľahko x.
   • príklad : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; vynásobíme obe strany (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Zadajte svoju konečnú odpoveď. Vezmite si späť svoje výpočty a vykonajte kontrolu. Ak ste si istí svojou odpoveďou, napíšte ju definitívne.
   • príklad : x = 3